Tema 6 - La Programacion Lineal

Tema 6 - La Programación Lineal

Concepto y Aplicación La programación lineal es una técnica de optimización condicionada que se utiliza para seleccionar la alternativa más favorable entre un gran número de posibilidades, sujeta a una serie de condiciones o restricciones. Su objetivo principal es maximizar un resultado deseable (como el beneficio) o minimizar un resultado desfavorable (como el coste), siempre y cuando las relaciones entre las variables involucradas sean de tipo lineal. Esta herramienta es especialmente útil en la toma de decisiones empresariales. Por ejemplo, se aplica en problemas de localización de varias fábricas y almacenes interdependientes con el fin de determinar el plan que minimiza los costes totales de distribución. Componentes Fundamentales Todo problema de programación lineal se estructura en torno a dos elementos clave:

1. Función Objetivo: Es la expresión matemática que se busca optimizar (maximizar o

minimizar). Representa el objetivo principal del problema, como el beneficio total o el coste total, en función de las variables de decisión.

2. Restricciones: Son las condiciones o limitaciones que deben cumplirse. Se expresan como

ecuaciones o inecuaciones lineales y reflejan las limitaciones de recursos, capacidad, demanda, etc. Generalmente, incluyen la restricción de no negatividad, que establece que las variables no pueden tomar valores negativos. Método de Resolución Gráfica Para resolver problemas de programación lineal con dos variables, se puede emplear un método gráfico que consiste en los siguientes pasos:

1. Representar las Restricciones: Cada restricción se representa gráficamente en un plano. La

solución debe cumplir con todas las restricciones simultáneamente.

2. Determinar el Área de Soluciones Posibles: La intersección de todas las regiones definidas

por las restricciones conforma el "área de soluciones posibles" o región factible. Cualquier punto dentro de esta área es una solución válida para el problema.

3. Representar la Función Objetivo: Se dibuja la recta correspondiente a la función objetivo

asignándole un valor arbitrario.

4. Encontrar la Solución Óptima: Se desplaza la recta de la función objetivo de forma

paralela a sí misma. La solución óptima se encuentra en el punto del área de soluciones posibles que la recta toca en última instancia al desplazarse en la dirección de optimización (el más alejado para maximización, el más cercano para minimización). Las coordenadas de este punto representan los valores óptimos de las variables. Ejemplo Práctico: El Caso de Duruned, S.A. Se presenta el caso de una empresa, Duruned, S.A., que busca maximizar su beneficio elaborando dos productos (XA Dc y YULI) con tres factores de producción limitados. Datos del Problema

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Formulación del Problema

1. Función Objetivo (a maximizar): El objetivo es maximizar el beneficio total (Z), que se calcula

como: Z = 12x + 9y

2. Restricciones: Las limitaciones de los factores de producción se expresan como:

• Factor 1: x + y ≤ 10
• Factor 2: 3x ≤ 21
• Factor 3: 4x + 2y ≤ 32 Resolución Para encontrar la solución óptima, se grafica el área de soluciones posibles delimitada por las restricciones. Posteriormente, se busca el punto dentro de esa área que maximiza la función objetivo. El texto ejemplifica que un beneficio de 120 u.m. no es alcanzable, ya que la recta 120 = 12x + 9y no tiene ningún punto en común con el área de soluciones posibles, demostrando así cómo el método permite identificar soluciones factibles y óptimas. Producto Contribución al Beneficio (u.m.) Uso del Factor 1 (u.f.) Uso del Factor 2 (u.f.) Uso del Factor 3 (u.f.) XA Dc (x) 12 1 3 4 YULI (y) 9 1 0 2 Disponibilidad Máxima Anual - 10 21 32

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Este documento profundiza exclusivamente en la técnica de la programación lineal como herramienta matemática para la optimización de recursos limitados en la empresa.

Concepto y Componentes La programación lineal es una técnica de optimización condicionada para maximizar o minimizar una función lineal sujeta a restricciones lineales. Es fundamental para resolver problemas complejos como la distribución logística o la mezcla óptima de producción. Todo problema consta de dos partes:

Función Objetivo: Expresión matemática del objetivo (ej. Z=ax+by) que se desea optimizar.

Restricciones: Ecuaciones o inecuaciones que reflejan limitaciones de recursos, capacidad o mercado, incluyendo la condición de no negatividad de las variables.

Método de Resolución Gráfica Para problemas de dos variables, se utiliza el método gráfico:

Se representan las restricciones en un plano cartesiano.

Se identifica el área de soluciones posibles (región factible), que es la intersección de todas las restricciones.

Se representa la función objetivo como una recta y se desplaza paralelamente. La solución óptima es el último punto del área factible que toca la recta en la dirección de mejora (maximización o minimización).

Caso Práctico: Duruned S.A. El texto ilustra la teoría con el caso de Duruned, S.A., que debe decidir cuánto producir de dos productos (XA Dc y YULI) para maximizar beneficios, sujeto a la disponibilidad de tres factores productivos. Se define la función Z=12x+9y y las restricciones correspondientes (ej. x+y≤10). El ejemplo demuestra cómo identificar soluciones inalcanzables (fuera del área factible) y cómo el método gráfico permite hallar la combinación exacta de productos que optimiza el uso de los factores disponibles