Tema 6 - La Programacion Lineal

Programación lineal: formular, comprobar y resolver

La programación lineal elige los valores de unas variables para maximizar o minimizar una función lineal bajo restricciones lineales. Antes de dibujar, define qué mide cada variable, en qué unidades se expresa y si admite fracciones. Un modelo continuo puede dar cantidades fraccionarias; si el producto solo admite unidades enteras, hay que imponer integridad y resolver ese problema.

El caso de producción, con todos sus datos

Una empresa produce dos bienes, X e Y. Sean $x$ e $y$ sus unidades producidas. Las contribuciones al beneficio son 12 y 9 unidades monetarias por unidad, respectivamente. No incluimos costes fijos que varíen con la decisión.

El modelo completo es:

$\max Z=12x+9y$

$x+y\leq10,\quad 3x\leq21,\quad4x+2y\leq32,\quad x\geq0,\ y\geq0.$

Las restricciones equivalen a $y\leq10-x$, $x\leq7$ y $y\leq16-2x$. Para dibujar la región, coloca $x$ en el eje horizontal e $y$ en el vertical, traza estas tres fronteras y conserva su intersección en el primer cuadrante. Los vértices de la siguiente tabla permiten reproducir el dibujo sin una imagen externa.

Solución paso a paso

El cruce de $x+y=10$ y $2x+y=16$ da $x=6$, $y=4$. El cruce de $x=7$ con $2x+y=16$ da $(7,2)$. El punto $(7,3)$ no es factible: consume 34 unidades del factor 3, más de las 32 disponibles.

La región es un polígono cerrado y acotado. Una función lineal alcanza al menos un óptimo en uno de sus vértices. Por tanto, la solución es producir 6 unidades de X y 4 de Y, con beneficio 108. Se consumen 10 unidades del factor 1, 18 del factor 2 y 32 del factor 3: quedan 3 unidades del factor 2 sin utilizar.

También puede probarse la cota sin dibujar: multiplicando $x+y\leq10$ por 6 y $2x+y\leq16$ por 3 y sumando se obtiene $12x+9y\leq108$. El punto $(6,4)$ alcanza esa cota; ningún plan factible consigue 120.

Qué errores evitar

No todo cruce de dos rectas es factible: sustitúyelo en todas las restricciones. No basta elegir el producto con mayor margen unitario: también importa qué recursos escasos consume. Una tangencia no es imprescindible; aquí el óptimo está en una esquina. Si la función objetivo es paralela a un lado óptimo puede haber varias soluciones. Una región factible también puede ser vacía o permitir un objetivo no acotado; no todos los problemas tienen un máximo finito.

Practica y comprueba

Mantén las restricciones y cambia la contribución de X de 12 a 8. ¿Qué vértice gana? Los valores pasan a ser 0, 56, 74, 84 y 90 en el orden de la tabla. El óptimo es $(0,10)$, con beneficio 90. Este cambio muestra por qué un plan óptimo depende tanto de los recursos como de los márgenes.

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Apuntes de Alberto Martín · Revisión editorial: 13 de octubre de 2026. Material independiente de apoyo; consulta la guía docente de tu curso para el programa y la evaluación.

Lecturas y fuentes de consulta:

• Grado y guías docentes de Economía, UNED