Tema 6 - La Programacion Lineal

Tema 6 - La Programación Lineal

Concepto y Aplicación

La programación lineal es una técnica de optimización condicionada que se utiliza para seleccionar

la alternativa más favorable entre un gran número de posibilidades, sujeta a una serie de

condiciones o restricciones. Su objetivo principal es maximizar un resultado deseable (como el

beneficio) o minimizar un resultado desfavorable (como el coste), siempre y cuando las relaciones

entre las variables involucradas sean de tipo lineal.

Esta herramienta es especialmente útil en la toma de decisiones empresariales. Por ejemplo, se

aplica en problemas de localización de varias fábricas y almacenes interdependientes con el fin de

determinar el plan que minimiza los costes totales de distribución.

Componentes Fundamentales

Todo problema de programación lineal se estructura en torno a dos elementos clave:

1. Función Objetivo: Es la expresión matemática que se busca optimizar (maximizar o

minimizar). Representa el objetivo principal del problema, como el beneficio total o el coste

total, en función de las variables de decisión.

#### 2. Restricciones: Son las condiciones o limitaciones que deben cumplirse. Se expresan como

ecuaciones o inecuaciones lineales y reflejan las limitaciones de recursos, capacidad,

demanda, etc. Generalmente, incluyen la restricción de no negatividad, que establece que las

variables no pueden tomar valores negativos.

Método de Resolución Gráfica

Para resolver problemas de programación lineal con dos variables, se puede emplear un método

gráfico que consiste en los siguientes pasos:

#### 1. Representar las Restricciones: Cada restricción se representa gráficamente en un plano. La

solución debe cumplir con todas las restricciones simultáneamente.

2. Determinar el Área de Soluciones Posibles: La intersección de todas las regiones definidas

por las restricciones conforma el "área de soluciones posibles" o región factible. Cualquier

punto dentro de esta área es una solución válida para el problema.

3. Representar la Función Objetivo: Se dibuja la recta correspondiente a la función objetivo

asignándole un valor arbitrario.

4. Encontrar la Solución Óptima: Se desplaza la recta de la función objetivo de forma

paralela a sí misma. La solución óptima se encuentra en el punto del área de soluciones

posibles que la recta toca en última instancia al desplazarse en la dirección de optimización

(el más alejado para maximización, el más cercano para minimización). Las coordenadas de

este punto representan los valores óptimos de las variables.

Ejemplo Práctico: El Caso de Duruned, S.A.

Se presenta el caso de una empresa, Duruned, S.A., que busca maximizar su beneficio elaborando

dos productos (XA Dc y YULI) con tres factores de producción limitados.

Datos del Problema

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Formulación del Problema

1. Función Objetivo (a maximizar): El objetivo es maximizar el beneficio total (Z), que se calcula

como: Z = 12x + 9y

2. Restricciones: Las limitaciones de los factores de producción se expresan como:

- Factor 1: x + y ≤ 10

- Factor 2: 3x ≤ 21

- Factor 3: 4x + 2y ≤ 32

Resolución

Para encontrar la solución óptima, se grafica el área de soluciones posibles delimitada por las

restricciones. Posteriormente, se busca el punto dentro de esa área que maximiza la función

objetivo. El texto ejemplifica que un beneficio de 120 u.m. no es alcanzable, ya que la recta 120 =

12x + 9y no tiene ningún punto en común con el área de soluciones posibles, demostrando así

cómo el método permite identificar soluciones factibles y óptimas.

Producto Contribución al

Beneficio (u.m.)

Uso del Factor 1

(u.f.)

Uso del Factor 2

(u.f.)

Uso del Factor 3

(u.f.)

XA Dc (x) 12 1 3 4

YULI (y) 9 1 0 2

Disponibilidad

Máxima Anual - 10 21 32

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